BlueStacks 5.5ではBackgroundで実行できていたけれど、5.6に更新するとできなくなってしまいました。
Forum上で同様の質問をした方がいますが、公式サポーターの回答だと「Scriptの動作としては仕様通り。5.5で動いていたのなら、もしかしたら仕様不具合だから報告あげてみて」とのこと。
早速、私も不具合報告としてあげてみました。
というか、マクロも使えないアプリのほうが多いのに、ScriptでさえBackground実行できなくなるのなら、いくら動作が軽量でもBluestacksを選ぶメリットはない。デメリットが大きすぎます。
この問題が解決しないようであれば、Nox Playerに戻しちゃうかも。